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By Betten D.

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Sample text

Es fotgt s r ° = F t u {S}, und wir k6nnen ein ze(Fo) ~ finden mit S ' = Wund W'=S. 1)(1 I/c)]= (3c~4z 3cw/4z "~ _ 3c2/4} ' und da diese Bildgerade wieder im linken Halbbiischel liegt, erhalten wir die Bedingungen 3c z_ l(3_Cw'~Z_eZ s 4 z 2\4z / (3c2) und - ~c 2 = ½ -zw +z - ~ ~ (~w ~ + z ) Umformung der letzten Gleichung ergibt C2W2(~--12)=0. Angenommen, die Klammer w/ire Null, dann folgte z = 1 im Widerspruch zur Bedingung z<0. Daher ist C2W2--~-~0, und wegen c ~ 0 erhalten wir w=0. Nun wenden wir die Abbildung o- mit c = - 1 auf den durch s = 0 und t = 1 gegebenen Teilraum des linken Halbbiischels an: - 1 1(~ ~_~ =5 ~z+~ ) 4-DIMENSIONALE TRANSLATIONSEBENEN 439 mit D = - z / 2 + z / 1 2 .

9 = t 2 / 2 bzw. 9 = z e Z S + t 2 / 2 = - z o ~ + ( 1 - z ) t 2 / 2 . Hieran liest man ab, dab die Geraden /3=const. genau dann transversal abgebildet werden, wenn gilt qz < O. Sei nun ~ = k/3 + a, k, a t ~, eine Gerade, die nicht zur ~-Achse parallel ist. Dann liefert Schnitt mit der Parabel { ( - t 2 / 2 , t); t ~ } die Gleichung t 2/2 + k t + a = 0 mit der Diskriminante D = k 2 - 2a. Ffir k z - 2a ~<0 verliiuft die Gerade ~ = k/3 + a i m rechten Halbbiischel, fiir k z - 2a > 0 schneidet sie die Parabel echt und verliiuft innerhalb de1 Parabel im linken Halbbfischel.

F A L L 1. Die Gerade S bleibe unter der linearen Gruppe F o des Bfischels fest. Dann folgt wie in Satz 1 (c), dab Fo 3-dimensional ist. Sei (p eine lineare Abbildung des ~ auf sich, welche die Partition 23. . p,q in die Partition 23w,,~,,p,,q, fiberffihrt. Dann k6nnen wit wegen der Transitivit/it von A' auf R' annehmen, dab =(00 00) ist, dab also q~ die F o r m o) hat mit 2 x 2-reihigen Matrizen C und D. Bei Konjugation mit (p geht die Gruppe A in sich, und daraus folgt D = cC mit c # 0. Da die u- und v-Achse unter q~ in sich tibergehen oder vertauscht werden, folgt und da bei Konjugation mit (p die ausgezeichnete Gruppe B in sich fibergeht, kann der zweite Fall nicht auftreten.

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by Kenneth
4.1

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